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tags: [数电]
type: note
source_type: reconstructed
created: 2026-08-15
updated: 2026-08-15
aliases: [布尔代数, 逻辑函数, 卡诺图化简, 德摩根定律]
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# 逻辑代数与卡诺图

> [!note] 对象层
> 学完这篇，你能**判断**：
>
> 1. 看到一个逻辑表达式，说出它是与/或/非/异或的哪种组合；
> 2. 用德摩根定律把 `(AB)'` 改写成"或"形式；
> 3. 把真值表变成最简与或式（卡诺图）；
> 4. 判断两个逻辑函数是否相等。

> **用生活理解**：逻辑代数是数字世界的"语法"。与门=两人都同意才放行；或门=有一个同意就行；非门=否定。卡诺图则是给"合并同类项"设计的格子纸——把相邻的 1 圈起来，表达式就变短了。

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## 一、一句话本质

**逻辑代数研究"真/假"变量的运算规则，与、或、非是三大基本运算；卡诺图是用几何相邻性（格子的相邻=变量的相邻）来机械化简逻辑函数的方法。**

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## 二、速查表（公式与结论）

### 2.1 三种基本运算

| 运算   | 符号         | 输出为 1 的条件 | 记忆     |
| ------ | ------------ | --------------- | -------- |
| 与 AND | `·` 或省略   | 所有输入都为 1  | 一假则假 |
| 或 OR  | `+`          | 至少一个为 1    | 一真则真 |
| 非 NOT | `'` 或上划线 | 输入为 0        | 取反     |

### 2.2 复合运算

| 运算      | 表达式 | 等价    | 特点                             |
| --------- | ------ | ------- | -------------------------------- |
| 与非 NAND | (AB)'  | A'+B'   | 与非门是"万能门"，可构成任何逻辑 |
| 或非 NOR  | (A+B)' | A'B'    | 同上，万能门                     |
| 异或 XOR  | A⊕B    | A'B+AB' | 不同则 1                         |
| 同或 XNOR | A⊙B    | AB+A'B' | 相同则 1，XOR 取反               |

### 2.3 基本定律

| 定律             | 公式                                                           |
| ---------------- | -------------------------------------------------------------- |
| 0-1 律           | A·0=0；A·1=A；A+0=A；A+1=1                                     |
| 互补律           | A·A'=0；A+A'=1                                                 |
| 重叠律           | A·A=A；A+A=A                                                   |
| 交换/结合/分配律 | A(B+C)=AB+AC；A+BC=(A+B)(A+C)                                  |
| 吸收律           | A+AB=A；A(A+B)=A；A+A'B=A+B                                    |
| **德摩根定律**   | **(AB)'=A'+B'；(A+B)'=A'B'**——与或互换、各变量取反、整体再取反 |
| 还原律           | (A')'=A                                                        |

### 2.4 标准形式

| 形式       | 定义                                  | 例子（3 变量）            |
| ---------- | ------------------------------------- | ------------------------- |
| 最小项 mᵢ  | 每个变量以原/反形式出现一次的**与项** | m₅ = A·B'·C（二进制 101） |
| 最大项 Mᵢ  | 每个变量以原/反形式出现一次的**或项** | M₅ = A'+B+C'              |
| 标准与或式 | 最小项之和 Σm                         | F = Σm(1,3,5)             |
| 标准或与式 | 最大项之积 ΠM                         | F = ΠM(0,2,4,6,7)         |

> 关键关系：**mᵢ' = Mᵢ**；Σm 缺的编号就是 ΠM 的编号。

### 2.5 卡诺图画圈规则

1. 相邻格（上下左右、**首尾相连**）可以合并；
2. 圈内 1 的个数必须为 **2ⁿ 个**（1、2、4、8…）；
3. 圈越大、个数越多 → 化简结果越简单；
4. 每个圈对应一个**与项**：圈内取值**不变的变量保留**（原变反，反变原），变化的变量消去；
5. 所有 1 都必须至少圈一次（可重复圈，圈越大越好）。

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## 三、判别规则

1. **化简目标**：表达式最短 = 与项最少 + 每个与项变量最少。
2. **用德摩根取反**：遇到"长反号"，先展开成单个变量取反再合并。
3. **卡诺图圈法**：先圈"唯一能圈的孤立 1"，再圈 8、4、2 的最大圈，宁可圈大不圈小。
4. **等式证明**：真值表法（穷举）是最可靠的判据。

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## 四、易混对比

| 易混点 A         | 易混点 B   | 关键区别                                     |
| ---------------- | ---------- | -------------------------------------------- |
| 德摩根"拆长反号" | 普通分配律 | 反号下是"与↔或互换+取反"；普通分配律只是展开 |
| 最小项之和       | 最大项之积 | 下标互补：Σm(1,3,5) = ΠM(0,2,4,6,7)          |
| 吸收律 A+AB=A    | 分配律     | 吸收是"多余因子吞掉"，不是展开               |
| 与非门           | 或非门     | (AB)' 与 (A+B)'：真值表只有 00 一项不同      |

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## 五、典型例题（先想再翻）

1. **化简**：F = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC
   > 答：提 A'C(A'B'+... ) 重新看：= A'C(B'+B) + AC(B'+B) = A'C + AC = C。
2. **卡诺图**：F = Σm(0,1,3,4,5)，3 变量卡诺图化简。
   > 答：圈 m0,m1,m4,m5（竖排四格）→ B'；圈 m1,m3（右列上两格）→ A'C。结果 F = B' + A'C。
3. **陷阱题**：同学说"卡诺图里圈 3 个 1 也可以，只要相邻"。
   > 答：错。圈的个数必须为 2 的幂（1/2/4/8），3 个不能圈。

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## 六、完整知识点

### 6.1 逻辑代数的基本公式体系

- 与普通代数**唯一不同**：分配律 A+BC=(A+B)(A+C) 成立（普通代数不成立）。
- 反演规则（对偶）：对 F 取反 = 把 `·`↔`+`、0↔1、原↔反互换。

### 6.2 为什么卡诺图有效

两个相邻最小项**仅一个变量不同**，可合并：`AB'C + ABC = AC(B'+B) = AC`。卡诺图把这种"逻辑相邻"画成"几何相邻"，肉眼即可找出可合并项。4 变量有 16 格，5 变量以上需"折叠"或降维，手工作图变难 → 用 Quine-McCluskey 或软件（如 Logic Friday / 现代 EDA）。

### 6.3 无关项（Don't Care）

某些输入组合**不可能出现**或**输出无所谓**（如 BCD 的 1010~1111），在卡诺图中记为 ×。**圈 × 可当 1 用，但不必全圈**——能帮助扩大圈就圈，不能就忽略。这是化简中最重要的技巧之一。

### 6.4 与 PCB 的关系

真实芯片（74LS00 与非门、74HC08 与门）就是"逻辑函数物化"。看原理图时，把门网络还原成表达式（或者反过来），是验证原理图正确性的基本功。

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## 七、与 PCB 画图的关联

- 原理图中门电路符号 → 用德摩根在"与门+反相器"和"与非门"之间切换，省器件（对应 [[PCB学习笔记/05-读懂原理图与数据手册|PCB 笔记 05]]）。
- 译码器/选择器就是"实现逻辑函数的中规模芯片"，其片选表达式是逻辑代数的直接应用。
- 无关项技巧用于地址译码简化（如 0x00~0x07 映射到一片存储的片选）。

> 来源：阎石《数字电子技术基础》第 2 章（逻辑代数基础）、第 5 章（卡诺图化简）