学科04：函数重要模型_笔记.md 23 KB
一、函数思维00:00
- 对数函数、指数函数、拉弗曲线、大数定律 00:03
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所长林超 bilibili 深奥 对数函数 2 费马最后定理 1 指数函数 庞加莱猜想 拉弗曲线 黎曼假设 大数定律 导出代数几何 拟完美空间 …… 浅显 1+2=3 3 4 456×3=? \int x^{-1}\sqrt{x^3-1}dx=\frac{2}{3}\sqrt{x^3-1}x (1-\tanh^{-1}\sqrt{1-x^3})+c 简单 复杂 他把数学分成四个区四象限分类法：Jordan Allenberg将数学分为四个区域：
○ 1号区：深奥且复杂（庞加莱猜想、费马最后定理、黎曼假设）
○ 2号区：深奥但简单（指数函数、对数函数、拉弗曲线、大数定律）
- 3号区：浅显且简单（加减乘除、开方乘方）
○ 4号区：浅显但复杂（复杂定积分）
● 核心价值：2号区数学最具实用价值，因其简单直观且极度有用
- 函数的定义 00:54
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所在林超 bilibili 在一个变化过程中 有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有唯一的值与它对应 那么就说x是自变量 y是x的函数(因变量)本质定义：描述两个变量x与y的一一对应关系
● 直观理解：可通过图形简化表达变量间关系
● 教学误区：教科书定义过于抽象（"在一个变化过程中..."定义法）
1）例题：拉弗曲线 01:17
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所长林超 bilibili 拉弗曲线 税收 0 t* 税率 1就是把所有的人赚的钱都收上来经济模型：描述税收与税率的倒U型关系
○ 横轴：税率（0到1，0表示不收税，1表示100%征税）
○ 纵轴：政府税收总额
● 现实意义：存在最优税率点t*使税收最大化
- 极端情况：
◦ 税率为0：无税收
◦ 税率为1：无人工作导致税收归零
2）例题：锻炼和健康的关系 02:15
- 倒U型应用：
- 进食量vs愉悦度：饥饿→愉悦峰值→过饱不适
○ 锻炼强度vs健康度：缺乏运动→最佳强度→过度损伤
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所长林超 bilibili 健康度 0 锻炼 都跟健康度都有个一一对应的关系3）例题：时间函数的应用 02:26
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所长林超 bilibili 收益 成本 股价 情绪 精力 ... 时间 营业额 价值 能力 价格 情绪● 核心变量：时间作为自变量，对应收益/营业额/价值/情绪等因变量
● 核心价值：提供穿透时间的预测视角，克服短视问题
4）例题：技术成熟规律 03:07
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所长林超 bilibili 过度乐观 Slope of Enlightenment 走向成熟 时间 期望 新技术出现 过度悲观 在一个新技术出现出现之后- 技术发展四阶段：
- 新技术出现引发过度乐观
○ 落地困难导致过度悲观 - 远离视野的缓慢成长
- 最终走向成熟
5）例题：世界独达曲线 03:47
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所长林超 bilibili 高 自信程度 世界毒打 开能之规 绝望之谷 低 巨婴 智慧 (知识+经验) 不知道 我不知道 知道 我不知道 知道我知道 不知道我知道 都符合这个规律就是● 人生发展规律：
◦ 年轻时的盲目自信
- 经历社会"毒打"跌入谷底
○ 逐步攀爬回升
○ 换环境时重复此过程
● 重要启示：不要高估短期变化，不要低估长期变化
6）例题：人性曲线和物性曲线 04:46
所长林超
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人性曲线 物性曲线 a b d e f时间
物性曲线
● 人性曲线：神经电位反应模型（刺激→飞升→过度回落→恢复）
● 物性曲线：逻辑斯蒂增长函数
7）例题：逻辑斯蒂函数 05:32
所长林超
逻辑斯蒂函数
数学生物学家Pierre-Francois Verhulst
提出的一个非常著名的人口增长模型
● 提出者：Pierre-Francois Verhulst
● 应用领域：生物学/医学/经济学/管理学
● 核心公式： $f(x)=\frac{L}{1+e-k(x-x_{0})}$
○ L: 增长边界上限
8）例题：逻辑斯蒂增长 06:24
所长林超
逻辑斯蒂增长
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| 时间 | 指数增长 | 环境阻力 | | ---- | -------- | -------- | | 0 | 0 | 0 | | 10 | ~100 | ~100 | | 20 | ~400 | ~100 | | 30 | ~1400 | 1000 | | 40 | ~1400 | 1000 | | 50 | ~1400 | 1000 | | 60 | ~1400 | 1000 | | 70 | ~1400 | 1000 | | 80 | ~1400 | 1000 | | 90 | ~1400 | 1000 | | 100 | ~1400 | 1000 |指数增长到一定的程度
● 构成要素：
◦ 指数增长力量（无限制环境）
- 环境阻力线（限制因素）
● 现实案例：全球人口增长曲线（公元前1万年至今）
9）例题：国力发展规律 07:31
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| 时间(t) | 主要战争 | 韩兰 | 印度 | 英国 | 西班牙 | 日本 | 波尼亚 | 俄罗斯 | 法尼亚 | | ------- | -------- | ---- | ---- | ---- | ------ | ---- | ------ | ------ | ------ | | 1500 | 0.7 | 0.6 | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.3 | 0.1 | 0.1 | | 1550 | 0.6 | 0.5 | 0.3 | 0.1 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1600 | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1650 | 0.4 | 0.3 | 0.3 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1700 | 0.3 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1750 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.5 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1800 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.6 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1850 | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.7 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1900 | 0.3 | 0.3 | 0.3 | 0.8 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 1950 | 0.4 | 0.4 | 0.3 | 0.9 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.1 | 0.1 | | 2000 | 0.5 | 0.5 | 0.3 | 1.0 | 0.3 | 0.1 | 0.4 | 0.2 | - | The chart displays a line graph with the x-axis labeled '时间(t)' and the y-axis labeled '相对水平 (万载天气量)'. The legend includes countries: 全国, 美国, 法国, 印度, 西班牙, 德国, 波尼亚, 印罗, 法尼亚, 克斯曼帝国, and 其他国家 (note: this appears to be a typo in the image). The chart is titled '然后是荷兰的崛起' (It's first rise then next fall).- 历史规律：中国 $\rightarrow$ 荷兰 $\rightarrow$ 英国 $\rightarrow$ 美国的倒U型更替
● 当前态势：中国处于上升期，美国处于下降期
10）例题：身体机能发展规律 08:47
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| 年龄段 | 生命机能随年龄变化而衰退 (%) | | ------ | ----------------------------- | | 自主期 | 100 | | 过期 | 80 | | 依赖期 | 60 |发展轨迹：
- 5-30岁：机能持续上升
- 30-40岁：达到峰值
- 40岁后：逐步衰退
● 智力发展：流体智力（Fluid intelligence）同样符合倒U型
11）例题：波动规律 10:07
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所长林超 bilibili 环境遇 股价 情绪 精力 心跳 ... 时间(t) 这些都是我们逃避不开避不了● 普适现象：人生境遇/情绪/股价的正余弦波动
- 决策框架：
- 黎明前的黑暗（整体上升中的波谷）
○ 黑夜前的黄昏（整体下降的前奏）
12）例题：系统论分析案例 11:35
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```mermaid graph TD A["会员增长"] --> B["自研内容"] B --> C["用户数据"] C --> A D["口碑"] --> A E["激进投资新剧"] --> B F["公司价值=会员数×客户LTV"] --> B ```● 良性循环三要素：
- 独家内容吸引会员
○ 会员增长提升收入 - 收入反哺内容制作
● 投资启示：2018年股价下跌30%后实现100%回报
- 指数函数 16:36
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指数增长 y = 2^x 平时我们可能经常听到它的各种叫法基本形式: $y = 2^{x}$ ，这是一个增长奇迹函数
● 常见别称: 复利效应、爆发式增长、裂变式营销、丧尸片传播场景
1）增长特性
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指数增长 y = 2^x 或者一个传销组织的壮大● 裂变模式: 一传二、二传四、四传八、八传十六
● 爆发威力: 连续传播40代后，数量可达1000亿量级
● 戏剧性特征: 早期增长缓慢，后期突然爆发，具有"惊掉下巴"的效果
2）脆弱性
● 关键特征: 早期关键链路断裂会导致整个模型崩塌
● 典型案例: 鸡蛋孵化致富计划中，鸡蛋打碎即损失"一个亿"
● 本质原因: 指数增长对初始条件极度敏感
3）应用领域
● 技术进步: 电力、互联网等技术突破后的普及过程
● 通讯工具: 微信10个月传遍全国的用户增长案例
● 社会现象: 传染病传播、流言八卦、时尚潮流等人传人现象
4）迷惑性特征
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所长林超 bilibili 指数级增长 一开始发展极其缓慢 然后突然间就快的难以置信 人类大脑无法 从直觉上理解指数函数 因为一开始我们去看它●
● 认知偏差: 人类大脑缺乏理解指数增长的本能
● 典型表现: 新冠疫情初期被严重低估
● 关键转折: 拐点前后的增长速度差异极大（2月19日-3月1日几乎持平，之后爆发）
● 本质规律: "突然爆发" 实际是持续积累的结果，只是早期未被察觉
5）例题：新冠疫情发展 18:52
●
● 案例背景: 2020年3月全球4万病例时的预测偏差
● 认知误区: 决策者基于线性思维低估传播速度
● 数据对比: 实际增长曲线远超虚线预测
● 核心启示: 识别指数增长模式对重大决策至关重要
- 对数函数 21:03
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所长林超 bilibili 指数函数 对数函数 x y -6 -5 -4 -3 -2 -1 x -1/2 反函数就是说这两个函数- 反函数关系: 对数函数是指数函数的反函数，两者在形态上完全相反。
● 增长特征:
◦ 指数函数特征：先慢后快突然爆发
- 对数函数特征：先快后慢，出道即巅峰
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所长林超 bilibili 指数函数 先慢后快 突然爆发 对数函数 先快后慢 出道既巅峰 这是对数函数特征- 玻璃顶效应:
○ 现象：初期快速增长后趋于平缓，无法突破上限
- 原因：存在时间/空间/青春/内在价值等约束
○ 实例1：外卖员日工作时长上限24小时（时间约束）
○ 实例2：共享单车投放受城市空间限制（空间约束）
○ 实例3：嫩模行业价值随年龄递减（青春约束）
○ 实例4：无内在价值产品依赖广告（价值约束）
- 凹形幂函数 23:02
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所长林超 bilibili 规模 y = x^α α > 1 α < 1 y = x^α 时间 凹形幂函数的公式函数形式: $y = x^{\alpha}$ ( $\alpha > 1$ )，如 $y = x^{1.25}$ 或 $y = x^{2}$
- 几何特征:
○ 对称线：x = y 的 45 度斜线
- 凹函数：将对称线向下按压形成的形态
- 凸函数：与凹函数相反，将对称线向上推
● 发展特征:
- 长期增长无玻璃顶
- 突破对称线后加速发展
○ 实例：头部国家/城市发展曲线
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| 时间 | 头部国家 | 头部城市 | 对称中线 | 非头部国家 | |---|---|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 200 | 100 | 50 | 50 | 30 | | 400 | 200 | 100 | 100 | 60 | | 600 | 300 | 200 | 200 | 90 | | 800 | 400 | 300 | 300 | 120 | | 1000 | 500 | 400 | 400 | 150 | | 1200 | 600 | 500 | 500 | 180 | The chart displays a line graph with a legend indicating '头部国家' (Head Country) and '对称中线' (Target Midline). The text '而且会变得越来越健康' appears at the bottom left. A person in front of the chart is labeled '所长林超 bilibili'.6. 总结 24:34
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| 时间 | y~logc(x) c>1 | y~x^a a<1 | y~x^b y~x^b | y=x | b>1 y~x^b | | ---- | ------------- | --------- | ----------- | --- | --------- | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 200 | ~300 | ~200 | ~150 | ~100| ~80 | | 400 | ~450 | ~400 | ~350 | ~250| ~160 | | 600 | ~500 | ~550 | ~550 | ~400| ~250 | | 800 | ~550 | ~700 | ~750 | ~550| ~350 | | 1000 | ~600 | ~850 | ~950 | ~700| ~450 | | 1200 | ~650 | ~1000 | ~1150 | ~850| ~550 | | 1400 | ~700 | ~1150 | ~1350 | ~1000| ~650 | | 1600 | ~750 | ~1300 | ~1550 | ~1150| ~750 | | 1800 | ~800 | ~1450 | ~1750 | ~1300| ~850 | | 2000 | ~850 | ~1600 | ~1950 | ~1450| ~950 | | 2200 | ~900 | ~1750 | ~2150 | ~1600| ~1050 | | 2400 | ~950 | ~1900 | ~2350 | ~1750| ~1150 | | 2600 | ~1000 | ~2050 | ~2550 | ~1900| ~1250 | | 2800 | ~1050 | ~2200 | ~2750 | ~2050| ~1350 | | 3000 | ~1100 | ~2350 | ~2950 | ~2200| ~1450 | | 3200 | ~1150 | ~2500 | ~3150 | ~2350| ~1550 | | 3400 | ~1200 | ~2650 | ~3350 | ~2500| ~1650 | | 3600 | ~1250 | ~2800 | ~3550 | ~2650| ~1750 | | 3800 | ~1300 | ~2950 | ~3750 | ~2800| ~1850 | | 4000 | ~1350 | ~3100 | ~3950 | ~2950| ~1950 | | 4200 | ~1400 | ~3250 | ~4150 | ~3100| ~2050 | | 4400 | ~1450 | ~3400 | ~4350 | ~3250| ~2150 | | 4600 | ~1500 | ~3550 | ~4550 | ~3400| ~2250 | | 4800 | ~1550 | ~3700 | ~4750 | ~3550| ~2350 | | 5000 | ~1600 | ~3850 | ~4950 | ~3700| ~2450 | | 5200 | ~1650 | ~4000 | ~5150 | ~3850| ~2550 | | 5400 | ~1700 | ~4150 | ~5350 | ~4000| ~2650 | | 5600 | ~1750 | ~4300 | ~5550 | ~4150| ~2750 | | 5800 | ~1800 | ~4450 | ~5750 | ~4300| ~2850 | | 6000 | ~1850 | ~4600 | ~5950 | ~4450| ~2950 | | 6287 | - | - | - | - | - | | 6487 | - | - | - | - | - | | 6787 | - | - | - | - | - | | 7187 | - | - | - | - | - | | 7487 | - | - | - | - | - | | 7787 | - | - | - | - | - | | 8187 | - | - | - | - | - | | 8487 | - | - | - | - | - | | 8787 | - | - | - | - | - | | 9187 | - | - | - | - | - | | 9487 | - | - | - | - | - | | 9787 | - | - | - | - | - | | 1287 | - (对应的中线) | - | - | - | - | | (对应的中线) : y = x, y = logc(x), y = logc(x) = b > 1, y = logc(x) = bilibili- 函数对比:
- 紫色线：逻辑斯蒂函数（指数型）
○ 褐色线：对数函数
○ 黄色线：凸形幂函数 - 红色线：凹形幂函数
● 国家发展应用:
○ 头部国家：凹形幂函数曲线（持续增长）
○ 非头部国家：凸形幂函数曲线（增速递减）
- 战略意义：GDP首位国家可获得增长模式跃迁
7. 职业类型 26:02
1）四种人生职业类型 26:09
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探索型职业 科学家/学者/投资人 艺术家/发明家 爆发型职业 网日创业者 明星/网红 专家型职业 医生/律师 专家/工程师/教师 速成型职业 司机/外卖/保安/做模 捞女/赌徒/骗子/ 熵增定律 它是爆发型的2）指数函数型职业：爆发型 26:21
● 特征:
- 短期爆发增长
○ 存在明确边界限制
○ 实例：风口创业者/明星/网红
● 发展局限:
- 破圈困难（如腐女市场明星难进入大众市场）
3）对数函数型职业：速成型 27:02
● 特征:
○ 出道即巅峰
- 快速遇到玻璃顶
○ 实例：嫩模/外卖员/保安/骗子/赌徒
- 突破方式:
- 需要彻底职业转型
4）凸型幂函数型职业：专家型 27:42
● 特征:
- 随时间增长但增速递减
- 阶梯式跃升（非连续增长）
○ 实例：医生/律师/工程师/教师
● 实际曲线:
○ 职称晋升带来收入跃迁
5）凹型幂函数型职业：探索型 28:21
● 特征:
- 无天花板限制
- 后期增长加速
○ 实例：科学家/学者/价值投资人/艺术家/发明家
● 发展机制:
- 与人类文明进步正相关
6）熵增定律对职业发展的影响 29:00
● 普遍规律:
○ 所有曲线都受向下拉力
- 不进则退（如速成型职业平台期难以维持）
- 终极趋势:
- 长期来看所有人类曲线终将归零
7）不同职业境遇的短期、中期和长期观察 29:48
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| 类别 | 数值 | | ---------- | ----- | | 凸型幂成长 | 500 | | 凹型幂成长 | 450 | | 对数型成长 | 300 | | 指数型成长 | 600 |短期优势:
- 对数型职业（如网红起步收入高）
● 中期优势:
◦ 指数型职业（抓住风口者一枝独秀）
● 长期优势:
- 凹型幂函数职业（如钟南山、袁隆平式学者）
- 次优选择：凸型幂函数专家职业
二、知识小结
| 知识点 | 核心内容 | 考试重点/易混淆点 | 难度系数 |
| 函数的分类与价值 | 数学分为四个区(深奥复杂、深奥简单、浅显简单、浅显复杂),二号区(深奥简单)的数学最实用,函数是核心组成部分 | 区分四个区域的特征及典型例子(如庞加莱猜想 vs. 指数函数) | ★★ |
| 函数的直观理解 | 函数可通过图形简化理解(如拉弗曲线描述税收与税率关系),倒U型曲线适用于税收、饮食愉悦度、锻炼与健康等场景 | 函数定义(初中教科书)的抽象表述 vs. 图形化理解的差异 | ★★ |
| 时间函数与应用 | 以时间为自变量的函数可预测未来(如收益、情绪变化),高特纳曲线描述技术发展周期(过度乐观→悲观→成熟) | 技术发展周期与人生自信曲线的类比(青年自信→社会毒打→重新爬升) | ★★★ |
| 人性曲线与物性曲线 | 高特纳曲线由人性曲线(神经电位反应)和物性曲线(逻辑斯蒂增长)构成 | 逻辑斯蒂函数的增长边界(L值)与指数增长的区别 |  |
| 倒U型曲线的普适性 | 国家发展、身体机能、智力发展、犯错成本均符合倒U型规律(如中国国力上升期 vs.美国下降期) | 中美国力对比的倒U型函数分析 |  |
| 波动函数(正余弦) | 情绪、股价、人生境遇呈波动规律,可区分黎明前的黑暗(上升趋势中的波谷)与黑夜前的黄昏(下降趋势前奏) | 短期波动与长期趋势的误判风险 |  |
| 指数函数与对数函数 | 指数函数(先慢后快,如技术传播、疫情增长) vs. 对数函数(先快后慢,如外卖员收入、青春饭职业) | 指数增长的脆弱性(早期链路断裂) vs. 对数函数的玻璃顶效应 |  |
| 幂函数(凹型 vs. 凸型) | 凹型幂函数(无天花板,如头部国家发展) vs. 凸型幂函数(增速放缓,如腰部国家) | 职业类型对应:探索型(科学家) vs. 专家型(医生) |  |
| 职业增长函数对比 | 指数型(网红/创业者)、对数型(嫩模/外卖员)、凸幂型(医生/律师)、凹幂型(科学家/艺术家) | 短期(对数型最优) vs. 长期(凹幂型最优)的职业选择策略 |  |
| 函数叠加与熵增定律 | 所有增长函数最终受熵增定律影响(曲线归零),需结合倒U型曲线理解全生命周期 | 逻辑斯蒂函数与指数函数的叠加效应 |  |