tags: [数电] type: note source_type: reconstructed created: 2026-08-15 updated: 2026-08-15

aliases: [布尔代数, 逻辑函数, 卡诺图化简, 德摩根定律]

逻辑代数与卡诺图

[!note] 对象层学完这篇，你能判断：

看到一个逻辑表达式，说出它是与/或/非/异或的哪种组合；

用德摩根定律把 (AB)' 改写成"或"形式；

把真值表变成最简与或式（卡诺图）；

判断两个逻辑函数是否相等。

用生活理解：逻辑代数是数字世界的"语法"。与门=两人都同意才放行；或门=有一个同意就行；非门=否定。卡诺图则是给"合并同类项"设计的格子纸——把相邻的 1 圈起来，表达式就变短了。

一、一句话本质

逻辑代数研究"真/假"变量的运算规则，与、或、非是三大基本运算；卡诺图是用几何相邻性（格子的相邻=变量的相邻）来机械化简逻辑函数的方法。

二、速查表（公式与结论）

2.1 三种基本运算

运算	符号	输出为 1 的条件	记忆
与 AND	`·` 或省略	所有输入都为 1	一假则假
或 OR	`+`	至少一个为 1	一真则真
非 NOT	`'` 或上划线	输入为 0	取反

2.2 复合运算

运算	表达式	等价	特点
与非 NAND	(AB)'	A'+B'	与非门是"万能门"，可构成任何逻辑
或非 NOR	(A+B)'	A'B'	同上，万能门
异或 XOR	A⊕B	A'B+AB'	不同则 1
同或 XNOR	A⊙B	AB+A'B'	相同则 1，XOR 取反

2.3 基本定律

定律	公式
0-1 律	A·0=0；A·1=A；A+0=A；A+1=1
互补律	A·A'=0；A+A'=1
重叠律	A·A=A；A+A=A
交换/结合/分配律	A(B+C)=AB+AC；A+BC=(A+B)(A+C)
吸收律	A+AB=A；A(A+B)=A；A+A'B=A+B
德摩根定律	(AB)'=A'+B'；(A+B)'=A'B'——与或互换、各变量取反、整体再取反
还原律	(A')'=A

2.4 标准形式

形式	定义	例子（3 变量）
最小项 mᵢ	每个变量以原/反形式出现一次的与项	m₅ = A·B'·C（二进制 101）
最大项 Mᵢ	每个变量以原/反形式出现一次的或项	M₅ = A'+B+C'
标准与或式	最小项之和 Σm	F = Σm(1,3,5)
标准或与式	最大项之积 ΠM	F = ΠM(0,2,4,6,7)

关键关系：mᵢ' = Mᵢ；Σm 缺的编号就是 ΠM 的编号。

2.5 卡诺图画圈规则

相邻格（上下左右、首尾相连）可以合并；
圈内 1 的个数必须为 2ⁿ 个（1、2、4、8…）；
圈越大、个数越多 → 化简结果越简单；
每个圈对应一个与项：圈内取值不变的变量保留（原变反，反变原），变化的变量消去；
所有 1 都必须至少圈一次（可重复圈，圈越大越好）。

三、判别规则

化简目标：表达式最短 = 与项最少 + 每个与项变量最少。
用德摩根取反：遇到"长反号"，先展开成单个变量取反再合并。
卡诺图圈法：先圈"唯一能圈的孤立 1"，再圈 8、4、2 的最大圈，宁可圈大不圈小。
等式证明：真值表法（穷举）是最可靠的判据。

四、易混对比

易混点 A	易混点 B	关键区别
德摩根"拆长反号"	普通分配律	反号下是"与↔或互换+取反"；普通分配律只是展开
最小项之和	最大项之积	下标互补：Σm(1,3,5) = ΠM(0,2,4,6,7)
吸收律 A+AB=A	分配律	吸收是"多余因子吞掉"，不是展开
与非门	或非门	(AB)' 与 (A+B)'：真值表只有 00 一项不同

五、典型例题（先想再翻）

化简：F = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC > 答：提 A'C(A'B'+... ) 重新看：= A'C(B'+B) + AC(B'+B) = A'C + AC = C。
卡诺图：F = Σm(0,1,3,4,5)，3 变量卡诺图化简。 > 答：圈 m0,m1,m4,m5（竖排四格）→ B'；圈 m1,m3（右列上两格）→ A'C。结果 F = B' + A'C。
陷阱题：同学说"卡诺图里圈 3 个 1 也可以，只要相邻"。 > 答：错。圈的个数必须为 2 的幂（1/2/4/8），3 个不能圈。

六、完整知识点

6.1 逻辑代数的基本公式体系

与普通代数唯一不同：分配律 A+BC=(A+B)(A+C) 成立（普通代数不成立）。
反演规则（对偶）：对 F 取反 = 把 ·↔+、0↔1、原↔反互换。

6.2 为什么卡诺图有效

两个相邻最小项仅一个变量不同，可合并：AB'C + ABC = AC(B'+B) = AC。卡诺图把这种"逻辑相邻"画成"几何相邻"，肉眼即可找出可合并项。4 变量有 16 格，5 变量以上需"折叠"或降维，手工作图变难 → 用 Quine-McCluskey 或软件（如 Logic Friday / 现代 EDA）。

6.3 无关项（Don't Care）

某些输入组合不可能出现或输出无所谓（如 BCD 的 1010~1111），在卡诺图中记为 ×。圈 × 可当 1 用，但不必全圈——能帮助扩大圈就圈，不能就忽略。这是化简中最重要的技巧之一。

6.4 与 PCB 的关系

真实芯片（74LS00 与非门、74HC08 与门）就是"逻辑函数物化"。看原理图时，把门网络还原成表达式（或者反过来），是验证原理图正确性的基本功。

七、与 PCB 画图的关联

原理图中门电路符号 → 用德摩根在"与门+反相器"和"与非门"之间切换，省器件（对应 [[PCB学习笔记/05-读懂原理图与数据手册|PCB 笔记 05]]）。
译码器/选择器就是"实现逻辑函数的中规模芯片"，其片选表达式是逻辑代数的直接应用。
无关项技巧用于地址译码简化（如 0x00~0x07 映射到一片存储的片选）。

来源：阎石《数字电子技术基础》第 2 章（逻辑代数基础）、第 5 章（卡诺图化简）

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