01-数制与码制.md 9.5 KB
tags: [数电] type: note source_type: reconstructed created: 2026-08-15 updated: 2026-08-18
aliases: [进制, BCD码, 原码反码补码, 数制, 数字化]
数制与码制
[!note] 对象层 学完这篇，你能判断：
- 十进制 ↔ 二进制 / 十六进制之间任意转换（含小数）；
- 看一个 BCD 码（8421）能否一眼读出对应十进制数；
- 说出原码/反码/补码的区别，并用补码完成加减法；
- 区分"数制"（表达数值）与"码制"（编码信息）谁是谁。
用生活理解：十进制是我们的"日常语言"，二进制是机器的"母语"，十六进制是工程师的"速记符号"（4 位二进制合 1 位十六进制，缩写能力强）。补码则是把"减法"变成"加法"的巧计——就像"退 3 步"可以写成"前进 7 步再绕一圈"。
一、一句话本质
数制决定一个数怎么"进位"；码制决定一个信息怎么"编码"；带符号数的原反补三兄弟中，只有补码能让加减统一为加法、且 0 的表示唯一。
二、速查表（公式与结论）
2.1 各进制基数表
| 进制 | 基数 | 数码 | 进位规则 | 用途 |
|---|---|---|---|---|
| 十进制 | 10 | 0~9 | 逢十进一 | 日常 |
| 二进制 | 2 | 0,1 | 逢二进一 | 机器存储 |
| 八进制 | 8 | 0~7 | 逢八进一 | 历史遗留（Unix 权限） |
| 十六进制 | 16 | 0 |
逢十六进一 | 汇编/寄存器/地址 |
记忆：1 位十六进制 = 4 位二进制；1 位八进制 = 3 位二进制——这是分组转换法的基础。
2.2 转换速查
| 转换 | 方法 | 例子 |
|---|---|---|
| 十进制 → 任意进制（整数） | 除基取余，倒序排列 | 25→二进制：25÷2=12余1，12÷2=6余0，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1 → 11001 |
| 十进制 → 任意进制（小数） | 乘基取整，正序排列 | 0.625→二进制：0.625×2=1.25取1，0.25×2=0.5取0，0.5×2=1.0取1 → 0.101 |
| 任意进制 → 十进制 | 按权展开求和 | 1011.1₂ = 8+0+2+1+0.5 = 11.5 |
| 二进制 ↔ 十六进制 | 以小数点为中心四位一组分组 | 11010110₂ → 1101 0110 → D6₁₆ |
| 二进制 ↔ 八进制 | 三位一组分组 | 11 010 110₂ → 326₈ |
2.3 常用码制速查
| 码 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| 8421 BCD | 有权码（8/4/2/1） | 每 4 位二进制表示 1 位十进制，0000 |
| 2421 BCD | 有权码（2/4/2/1） | 5 的补码对称：1000=4，1011=5 |
| 余 3 码 | 无权码 | 8421 码 +3，便于 BCD 加减运算 |
| 格雷码 | 无权码 | 相邻码仅 1 位变化，用于消除毛刺/编码器 |
| ASCII | 信息码 | 7 位编码 128 个字符 |
2.4 原码 / 反码 / 补码（n 位定点整数）
| 码 | 定义（以 n=4 位，-5 为例） | 特点 |
|---|---|---|
| 原码 | 符号位 + 绝对值（1101） | 直观但 0 有 +0/−0 两种表示 |
| 反码 | 正同原码；负=原码取反（1010） | 0 仍有 ±0 |
| 补码 | 正同原码；负=反码+1（1011） | 0 唯一（0000），减法转加法 |
核心规则：补码的补码 = 原码；n 位补码范围 −2ⁿ⁻¹ ~ +(2ⁿ⁻¹−1)。 例：−5 的补码：5=0101 → 取反 1010 → +1 = 1011 ✓
三、判别规则
- 转进制看方法：整数→除基取余倒排；小数→乘基取整正排；反向→按权展开。
- 8421 BCD 合法性：
1010~1111出现即非法（BCD 每 4 位只到 9）。 - 有符号数运算：机器内一律用补码存储运算，溢出看最高两位进位是否一致（双高位法）。
- 选码：需要抗干扰单调变化 → 格雷码；需要显示/键盘 → BCD；需要通信文本 → ASCII。
四、易混对比
| 易混点 A | 易混点 B | 关键区别 |
|---|---|---|
| 数制（二进制） | 码制（BCD） | 二进制是完整数值系统；BCD 只是十进制数的"4 位一编码"，1010 在二进制合法、在 BCD 非法 |
| 原码 | 补码 | 原码有 ±0、减法要借位；补码 0 唯一、可统一加减 |
| 8421 BCD | 二进制 | 12 的 BCD 是 0001 0010（两位），二进制是 1100（一位数字表示 12） |
| 乘基取整 | 除基取余 | 前者给小数、正序读；后者给整数、倒序读 |
五、典型例题（先想再翻）
- 转换：十进制 89 → 二进制与十六进制。 > 答：89÷2=44余1，44÷2=22余0，22÷2=11余0，11÷2=5余1，5÷2=2余1，2÷2=1余0，1÷2=0余1 → 1011001₂；四位分组 0101 1001 → 0x59。
- 补码运算：用 4 位补码计算 3 − 5。 > 答：3=0011；−5=1011；0011+1011=1110；1110 为补码 → 取反 1001 → +1=1010 → −2 ✓。
- 陷阱题：同学说"1010 是合法的 8421 BCD 码，代表十进制 10"。 > 答：错。BCD 每位最多 9，1010~1111 是非法码；十进制 10 的 BCD 应为 0001 0000。
六、完整知识点
6.1 数制的一般表示
任意进制数按权展开：(aₙ₋₁aₙ₋₂…a₀.a₋₁…a₋ₘ)ᵣ = Σ aᵢrⁱ，r 为基数，aᵢ 为 0~(r−1) 的数码。
6.2 为什么机器用二进制
- 两态物理器件（高/低电平）天然实现 0/1；
- 运算规则简单：只有"逢二进一"；
- 抗干扰强：信号只需区分两种电平。
6.3 补码的本质（数学视角）
对 n 位模 M=2ⁿ 系统，负数 x 表示为 M+x（模运算）。例 4 位：−3 = 16−3 = 13 = 1101₂ 的补码表示。因此 x−y = x+(M−y)，减法变成加法，且进位自然溢出丢弃。
6.4 溢出判断（重要）
补码加法溢出 ≠ 进位丢失。判据：符号位进位 C₁ 与最高数值位进位 C₂ 异或为 1 则溢出。 例：4 位 7+1：0111+0001=1000 → 结果符号为负（−8），C₁=0, C₂=1 → 溢出 ✓。
6.5 格雷码生成
n 位格雷码 = n−1 位格雷码先正序补 0、再逆序补 1。应用：旋转编码器、异步时钟域跨域。
6.6 数字化：任何信息都能变回二进制（尚硅谷补充）
二进制不止能表达数字——现实中的信息都能"数字化"，统一变成 0 和 1 位模式存储。
| 信息 | 数字化方法 | 关键指标 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 文字 | 查字符编码表 | ASCII 7 位/字符 | 内存中程序与数据都是位模式（0/1） |
| 图片 | 像素化 + 像素数字化 | 分辨率、位深 | 800×600 = 480000 像素；RGB 三原色每色 1 字节（0~255，8 位深） |
| 声音 | 采样 + 量化 | 采样率、位深 | 采样率 44100/48000Hz；位深 16/24bit |
| 视频 | 连续图片+声音 + 有损压缩 | 帧率、压缩标准 | H.264/H.265/AV1；约 25 帧/秒，利用视觉残留 |
关键概念：
- 分辨率 = 图片横纵切分的份数（越高越清晰）；
- 位深 = 每个采样/颜色用多少位表示（8 位深 0
255，16 位深 065535，位深越大越不易出"色阶/阶梯"）；- 二值图像最简单：5×5 图用 1 白 0 黑直接写成 25 个位；
- 视频若"耿直地"把图片拼起来体积会非常大，所以用有损压缩（H.264/H.265/AV1）。
与本课联系：这正是"码制"的扩展——计算机只认识 0/1，一切模拟信息（文字/图像/声音/视频）都先经"编码"再存储运算，也是 [[08-AD与DA转换|数电 08]] 采样-量化思想的同源概念。
七、与 PCB 画图的关联
- 芯片数据手册中的引脚号（如 D0~D7）、寄存器地址（0x4002 1000 风格）→ 十六进制速记是刚需。
- 数码管/按键编码用 8421 BCD 或自定义编码 → 画原理图时决定编码器/译码器连接（对应 [[PCB学习笔记/04-电路基础-电路定理|PCB 笔记 04]] 与 [[04-组合逻辑电路|数电 04 组合逻辑]]）。
- 总线与地址线按位命名（A0、D7）→ 理解"位权"习惯。
来源：阎石《数字电子技术基础》第 1 章（数制和码制）；尚硅谷《从零搭建计算机》第 1.2 节（数字化）